O que é e como funciona o modelo de Markowitz?

O Modelo de Markowitz e sua fronteira eficiente são termos que já ouvimos em nossa passagem pelas faculdades de economia. No entanto, ao longo dos anos, desconhecemos exatamente quais são seus principais postulados e quanto eles podem nos ajudar a diversificar nosso risco ao selecionar os ativos que incorporamos em nosso portfólio.

A profundidade da teoria de seleção de portfólio e as evoluções subsequentes não cabem em uma publicação, mas esta tem a vocação de um resumo básico para entender e usar esta ferramenta através das perguntas-chave feitas.

Mas vamos por partes, antes de explicar o que é e como se desenvolve, vamos para definições mais simples.

O que é um portfólio eficiente?

Um portfólio eficiente é aquele que cumpre duas condições:

  • Para o seu nível de retorno esperado, não existe outro portfólio com um risco menor.
  • Para o risco que envolve, não existe outra oportunidade de investimento que permita obter um retorno esperado maior, ou seja, proporciona o máximo retorno esperado possível para o seu nível de risco.

Assim, para alcançá-lo, aqui estão algumas dicas que você, como investidor, pode seguir:

1. Conheça seu perfil de investidor: Ou seja, que risco como investidor você está disposto a aceitar: conservador, moderado ou agressivo

2. Defina metas realistas: Você deve saber qual é o objetivo, ou seja, que retorno pretendo obter, conhecendo já o nível de risco que quero aceitar. Portanto, deve-se enfatizar a expressão “metas realistas”, pois:

  • Metas superdimensionadas podem desmotivar.
  • Metas pouco ambiciosas podem levar à relaxamento e, a longo prazo, gerar perdas por excesso de confiança.

3. Balancear o risco: Agora que já conhecemos nosso nível de risco e os objetivos a serem alcançados, é hora de distribuí-lo entre diferentes ativos como ações, ETFs, CFDs, fundos…

4. Consultoria em fiscalidade: Depois de ter pensado em um plano, uma estratégia, e acima de tudo, ter sofrido todo o risco ao qual estivemos expostos, chega o momento mais traumático de todos, passar pelo caixa. Os impostos. Para isso, estar informado sobre como fazer a declaração de imposto de renda para incluir os rendimentos do capital, ou diretamente recorrer a um especialista é fundamental, se não, qualquer multa da Receita Federal, poderia nos fazer perder o que tanto trabalho e risco nos custou ganhar.

5. Diversifique seu portfólio com base no risco: Até agora não paramos de falar sobre investimento em ações, mas realmente existem muitas outras formas de investimento rentáveis e talvez menos arriscadas: Rendimentos passivos, setor imobiliário…

O que é o modelo de Markowitz?

E agora que já sabemos como deve ser configurado um portfólio eficiente, é hora de avaliar o modelo de Markowitz.

O modelo de Markowitz é um modelo matemático usado para analisar o desempenho dos portfólios de investimento e foi desenvolvido pelo economista Harry Markowitz durante a década de 1950.

Assim, o Markowitz serve para maximizar a rentabilidade minimizando o risco, para isso cria um portfólio diversificado em várias classes de ativos. Esta diversificação ajuda a reduzir o risco global, ao mesmo tempo que permite obter um alto retorno potencial.

Atualmente, este modelo tem uma enorme influência no campo das finanças, e continua sendo usado por investidores e gestores de dinheiro em todo o mundo.

Quem é Harry Markowitz?

O economista Henry Markowitz nasceu em 1927 em Chicago, Illinois.

Pertencente à prestigiosa Escola de Economia de Chicago, tornou-se um dos mais importantes analistas de investimentos a nível mundial e em 1952 escreveu um artigo “Portfolio Selection” baseado em sua tese de doutorado que marcaria sua carreira e abriria um novo campo no estudo da composição ótima de um portfólio de valores.

Em 1990 recebe o Prêmio Nobel de Economia junto com Miller e Sharpe pelas contribuições à teoria de gestão de portfólios.

Harry Markowitz

Quais são as hipóteses em que o Modelo de Markowitz se baseia?

Hipóteses sobre o comportamento e o método racional de escolha do investidor

  • Todos os indivíduos se comportam racionalmente e, portanto, são maximizadores de sua função de utilidade esperada.
  • A função de utilidade esperada do investidor depende apenas do retorno esperado, como medida de rentabilidade e a variância ou desvio padrão como medida de risco.
  • As funções de utilidade dos investidores são monotonamente crescentes, portanto, para uma carteira de valores com a mesma variância, prefere-se a carteira com maior retorno esperado.
  • Os investidores têm aversão ao risco, portanto, para uma carteira de valores com o mesmo retorno esperado, prefere-se a carteira com menor variância.
  • As curvas de indiferença ou iso-utilidade são crescentes (quanto maior o risco, maior a rentabilidade exigida) e convexas (quanto maior o risco, maior a rentabilidade exigida) e indicam as combinações de rentabilidade-risco que proporcionam a mesma utilidade ao investidor. As curvas localizadas mais à esquerda e para cima representam níveis superiores de utilidade esperada.

Hipóteses sobre os ativos e os mercados financeiros

  1. Considera-se que os mercados financeiros são perfeitos:
  • Todas as informações estão igualmente disponíveis e gratuitamente para todos os participantes do mercado.
  • Não existem custos de transação nas operações de compra e venda de ativos financeiros
  • Os títulos são infinitamente divisíveis. É possível investir neles qualquer proporção do orçamento.
  • Não há inflação nem impostos na economia.
  • Os investidores são aceitadores de preços.

2. Todos os investidores têm a mesma amplitude em seu horizonte de planejamento, que é de um período. No início do período, adquirem uma carteira de valores determinada que vendem no final do período em questão.

3. Nos mercados financeiros, negociam-se ativos financeiros arriscados e suas combinações. Não se considera a existência de um ativo financeiro livre de risco no qual se possa investir ou com o qual se possa financiar.
4. Os valores têm liquidez imediata no final do período de referência.
5. Não são permitidas vendas a descoberto.

Como se desenvolve o Modelo de Markowitz?

O modelo proposto por Markowitz visa determinar a carteira ótima, ou seja, aquela que maximiza a utilidade esperada pelo investidor.
Para isso, determina um processo de quatro etapas que consiste em:

1. Determinação do conjunto de possibilidades de investimento que o mercado oferece (conjunto viável)

  • Analisam-se os ativos arriscados e as carteiras possíveis que são negociadas nos mercados, estimando seu retorno esperado, variações e covariâncias entre os retornos de cada par de possíveis ativos financeiros.
  • Com dois títulos com correlação intermediária, as combinações se situam sobre uma hipérbole desenhada entre tais cotas, cujo grau de curvatura é maior quanto menor é a correlação entre os retornos dos dois ativos.
  • Com ativos financeiros e correlação intermediária, é uma região que chamamos de conjunto viável.

2. Determinação da fronteira eficiente.

Lembre-se que uma carteira eficiente é aquela que cumpre duas condições.

  • Para seu nível de retorno esperado, não existe nenhuma outra carteira que tenha um risco mais baixo.
  • Para o risco que envolve, não existe outra oportunidade de investimento que permita obter um retorno esperado maior, ou seja, proporciona o máximo retorno esperado possível para seu nível de risco.

Portanto, a fronteira eficiente é um conceito do Modelo de Markowitz que sugere que existe um equilíbrio ótimo entre risco e retorno ao investir. Este equilíbrio é alcançado diversificando os investimentos em várias classes de ativos e geralmente é representado na forma de gráfico, com o retorno no eixo das abscissas e o risco no eixo das ordenadas. A curva da fronteira eficiente representa a carteira ótima para um determinado nível de risco.

Por exemplo, um investidor com aversão ao risco escolheria um portfólio mais próximo do eixo Y (Ep, baixo risco), enquanto um investidor em busca de alta rentabilidade escolheria um portfólio mais próximo do eixo X (alta rentabilidade). Desta forma, a fronteira eficiente são os diferentes pontos ótimos entre rentabilidade e risco e nos indicará, dependendo do risco que estamos dispostos a assumir, a rentabilidade que devemos exigir e vice-versa.

Em qualquer outro caso, o portfólio é considerado ineficiente. O portfólio eficiente de menor risco é o portfólio de mínima variância (CMV) e a fronteira eficiente começa na CMV.

3. Especificação das preferências do investidor

  • As curvas de indiferença são crescentes e convexas. A forma específica dependerá do grau de aversão ao risco do investidor.
  • Uma curva de indiferença ou iso-utilidade é a representação gráfica de todas as combinações de retorno esperado-risco que proporcionam ao investidor a mesma utilidade esperada e que são indiferentes para ele.
curvas iso-utilidades Markowitz

4. Determinação do portfólio ótimo

  • O portfólio ótimo está no ponto de tangência entre a fronteira eficiente e uma curva de iso-utilidade. O portfólio é o que proporciona a maior utilidade possível ao se situar na curva de indiferença mais elevada.
  • É único para cada investidor, pois depende:
    • Das estimativas individuais sobre os títulos (fronteira eficiente)
    • Do grau de aversão ao risco (curvas de indiferença)
fronteira eficiente Markowitz

Como o modelo é desenvolvido analiticamente?

O conjunto de portfólios eficientes pode ser calculado resolvendo o seguinte programa quadrático paramétrico:

fórmulas Markowitz
  • Xi: é a proporção do orçamento do investidor destinado ao ativo financeiro
  • i: incógnita do programa
  • σ^2 (Rp): variância do portfólio p
  • ij: Covariância entre os retornos dos valores i e j
  • E(Rp): rentabilidade ou retorno esperado do portfólio p

O conjunto de pares [E(Rp), σ^2 (Rp)] ou combinações de rentabilidade-risco de todos os portfólios eficientes é chamado de «fronteira eficiente». Uma vez conhecida esta, o investidor, de acordo com suas preferências, escolherá seu portfólio ótimo.

Quais são as desvantagens do modelo de Markowitz?

  • Complexidade matemática do modelo: inicialmente foi proposto que o algoritmo de resolução era complexo e que o grande número de estimativas de retornos esperados, variâncias e covariâncias a calcular era muito alto. Embora seja importante destacar que hoje em dia com o hardware e software adequado a resolução do mesmo é muito simplificada.
  • Hipóteses do modelo: o modelo de Markowitz não leva em conta os custos de transação nem os impostos e também considera a perfeita divisibilidade dos títulos selecionados. Essas desvantagens podem ser resolvidas introduzindo novas restrições ao modelo.
  • Avaliação do risco: o modelo não dispõe de nenhuma ferramenta para que o investidor avalie sua atitude em relação ao risco e deduza sua função de utilidade, o que é necessário para determinar seu portfólio ótimo.
  • Dados utilizados: Michaud (1989) considera que o uso de séries de retornos históricos, na estimativa dos parâmetros esperados, produz vieses significativos. Por isso, os portfólios eficientes resultantes no modelo são compostos por ativos de alta rentabilidade, variância reduzida e baixa correlação com outros ativos, resultando em portfólios altamente concentrados em poucos títulos (baixa diversificação e alto risco). No entanto, essa dificuldade pode ser resolvida introduzindo restrições adicionais que limitem a porcentagem máxima dos recursos que serão investidos em cada título.

O modelo de Markowitz é considerado o ponto de partida da teoria moderna sobre seleção de carteiras e determinação da fronteira eficiente, sua abordagem e contribuições subsequentes e evoluções são sem dúvida alguns dos grandes avanços da teoria econômica no século XX, no entanto, seu uso prático por gestores e analistas de investimento tem sido relativamente escasso em comparação com sua relevância teórica.

Markowitz demonstra em seus estudos que a chave para diversificar uma carteira não está simplesmente no número de ações que a compõem, mas na correlação dos retornos das mesmas. Se a correlação for alta, não será possível diversificar, por outro lado, se a correlação for baixa, será possível diversificar e o risco será muito menor.

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