Matemática financeira: definição, fórmulas e exemplos aplicados ao investimento

As matemáticas financeiras são o ramo da matemática para entender como o dinheiro muda de valor com o tempo. Aplicadas no mundo das finanças, nos ajudam a tomar melhores decisões em investimentos, empréstimos e cálculo de juros.

Ela se encarrega do estudo das operações financeiras, onde se trocam fluxos de dinheiro que podem sofrer variações quantitativas ao longo do tempo. Isso ocorre porque o capital, graças ao tempo que fica depositado, gera juros.

Neste artigo, abordaremos o que são, suas aplicações básicas e exemplos práticos para facilitar sua compreensão. Além disso, você aprenderá a diferenciar entre juros simples e juros compostos, o valor presente e o impacto da inflação no dinheiro.

O que são as matemáticas financeiras?

O dinheiro perde seu valor ao longo do tempo, por exemplo, uma quantia determinada que se recebe no futuro perderá seu valor, devido à inflação e à subsequente perda do valor aquisitivo.

Se não houvesse inflação, da mesma forma o dinheiro futuro valeria menos do que no presente e isso acontece porque os consumidores preferem utilizar o consumo corrente em vez do consumo futuro, com a possibilidade de fazer seus investimentos em recursos em projetos que têm um rendimento real.

Essa análise é fundamental para entender conceitos como o custo de oportunidade, o valor presente e as projeções de capital.

Por exemplo, o dinheiro que se tem hoje não vale o mesmo que o dinheiro que se receberá no futuro. Fatores como a inflação e os juros compostos afetam seu valor real.

Principais conceitos:

• Juros simples: os juros simples são o mais básico dos juros. É sempre calculado sobre o capital inicial e não considera os juros gerados em períodos anteriores. Sua fórmula é: M = C × (1 + i × t)
• Juros compostos: ao contrário dos juros simples, os juros compostos consideram os juros gerados em períodos anteriores, fazendo com que o capital cresça mais rapidamente. Fórmula dos juros compostos: M = C × (1 + i)^t
• Valor presente e valor futuro: o valor presente (VP) permite calcular quanto vale hoje um fluxo de dinheiro futuro, descontando uma taxa de juros. Fórmula do valor presente: C = M / (1 + i)^t. Por outro lado, o valor futuro (VF) permite saber quanto valerá um investimento ou capital atual após certo tempo, aplicando uma taxa de juros. Fórmula do valor futuro: VF = C × (1 + i)^t
• Amortização de créditos: a amortização de créditos é o processo de pagar um empréstimo por meio de parcelas periódicas que cobrem tanto o capital quanto os juros. Fórmula para calcular a parcela: C = (P × i) / (1 - (1 + i)^-n)
• Anuidades: as anuidades são uma série de pagamentos iguais realizados em intervalos regulares, por exemplo, para pagar uma hipoteca ou receber uma pensão. Fórmula da anuidade ordinária (vencida): A = (C × ((1 + i)^n - 1)) / i

Classificações das matemáticas financeiras

Dentro das matemáticas estudam-se as operações financeiras simples e as complexas, a definição é a seguinte:

• Simples: analisa os dinheiros que provêm de um único capital (Denominados juros).
• Complexas: analisa os dinheiros que provêm de mais de um capital (Denominadas Rendas).

Outra classificação é a aplicação das operações da aplicação, onde dependendo da temporalidade, podem existir dois grandes princípios:

• Princípio de Capitalização: quando tenho fluxos no dia de hoje e quero saber quanto terei no futuro
• Princípio de Desconto: quanto fluxo terei no futuro e gostaria de saber quanto vale hoje.

O propósito de poder analisar essa corrente, se destaca pelo princípio de que o dinheiro perde valor ao longo do tempo. Você já percebeu que comprar um pacote de batatas fritas antes custava R$8 e agora custa R$14? Algumas pessoas consideram isso como “Inflação”, mas não necessariamente é só isso.

Também existe outro fator chamado “Custo de Oportunidade”, que diz respeito ao que eu sacrifico por dispor dos fluxos em um conceito e não em outro.

Exemplo: “Você possui R$100.000 hoje, dos quais pode gastar em uma festa, ou investir e, em dois meses, receber R$105.000”. Se você escolher a primeira opção, o custo de oportunidade seria deixar de ganhar R$5.000; se escolher a segunda opção, o custo de oportunidade consiste em não fazer a celebração.

Por isso, as matemáticas financeiras surgem para analisar fluxos e, dependendo da decisão que se queira tomar, poder adicionar ou retirar este conceito que chamaremos momentaneamente de “soma da inflação e custo de oportunidade”.

Tudo o que foi mencionado anteriormente é chamado de “perda de valor ao longo do tempo” e cumpre certos princípios elementares:

• Diante de dois capitais de igual valor em momentos diferentes, preferir-se-á o que for de tempo mais próximo.
• Diante de dois capitais de valores diferentes, mas no mesmo momento, preferir-se-á o de valor mais alto.

Todos esses princípios e bases são utilizados para comparar fluxos que, por defeito do tempo, não podem ser comparáveis. Se você tivesse R$100.000 hoje e R$100.000 em 2 anos, nominalmente ainda seriam R$100.000, mas o valor é mais alto hoje, dado que o que você pode adquirir hoje é mais do que poderá com o mesmo valor nominal no futuro. Portanto, as matemáticas financeiras cumprem esse papel.

Operações financeiras simples

Para analisar operações financeiras simples, temos que fazer referência ao mencionado anteriormente, o juro simples e composto. Ainda assim, um pequeno exemplo do juro simples considerando a fórmula mencionada anteriormente:

Suponhamos que você invista R$1.000 com uma taxa de juro simples de 5% ao ano durante 3 anos: M = 1.000 × (1 + 0,05 × 3) = 1.150 O montante final após 3 anos será de R$1.150. Esta é uma transição ideal para falar sobre o juro composto, que funciona de maneira diferente do juro simples.

E por outro lado, o juro composto: se você investir R$1.000 a uma taxa de juro composto de 5% ao ano durante 3 anos: M = 1.000 × (1 + 0,05)^3 ≈ 1.157,63 O montante final será de R$1.157,63, o que demonstra como o juro composto gera mais valor que o juro simples.

Operações financeiras complexas

Também denominada renda, este conceito analisa múltiplos capitais e múltiplos cenários de tempo, dada a complexidade, este tema será abordado em outro blog, mas hoje indicaremos alguns tópicos a considerar para este tipo de operações:

• A renda pode ser analisada como temporária (a um certo período) ou perpétua (sem período definido).
• A renda pode ser analisada sob a modalidade vencida (em que o pagamento ou recebimento é feito após uma data indicada) ou antecipada (que é feito antes de uma data indicada).
• O pagamento pode ser imediato ou diferido (em que se conhece a obrigação ou o direito e se registra hoje, apesar de que o pagamento ou a cobrança será visto no futuro). Algumas fórmulas a aplicar são as seguintes:

Fatores que afetam o valor do dinheiro

O valor do dinheiro muda com o tempo devido a diversos fatores econômicos e financeiros. Entre os mais relevantes estão:

Inflação

A inflação é o aumento sustentado dos preços de bens e serviços ao longo do tempo, o que reduz o poder de compra do dinheiro. Ou seja, com a mesma quantidade de dinheiro no futuro, será possível comprar menos bens e serviços do que no presente.

Se a taxa de inflação anual for de 3%, um produto que hoje custa R$100 valerá aproximadamente R$103 em um ano. Isso significa que o dinheiro perde valor com o tempo se não for investido adequadamente.

Custo de oportunidade

O custo de oportunidade é o valor da melhor alternativa não escolhida ao tomar uma decisão financeira. É fundamental na tomada de decisões, pois nos permite avaliar qual opção gera maiores benefícios a longo prazo.

Se você tem R$1.000 e decide gastá-los em uma viagem em vez de investi-los em um fundo com uma rentabilidade de 5% ao ano, o custo de oportunidade é o rendimento que você teria obtido desse investimento, ou seja, R$50 ao ano.

Matemática financeira: termos mais utilizados

Na hora de estudar a matemática financeira costumam existir certos termos mais utilizados que outros, o que significa entender a linguagem da matemática:

• Derivativos climáticos: refere-se a produtos financeiros e seu fluxo estão relacionados a um evento climático, geralmente aplicados a empresas agrícolas e turísticas.
• Derivativos de crédito: refere-se a produtos cujo fluxo depende de eventos de crédito.
• Juros de empréstimos bancários: os empréstimos flutuam com base no custo do dinheiro e no risco de inadimplência por parte do mutuário.
• Custo do dinheiro: solicitar um empréstimo implica um custo, que está relacionado à curva de taxas de juros. Essa curva é baseada na moeda, sendo fixa pelo mercado.
• Custo do risco: o setor bancário compensa o risco de inadimplência. Através de uma hipoteca ou através do prêmio de risco adicional.
• Juros: comentados anteriormente, aplicam-se dois tipos de juros nas matemáticas financeiras: o juro simples (em relação à definição de juro), é calculado com base no total de um capital inicial. O juro composto (leva-se em conta como base de cálculo o capital inicial e os valores de juros gerados pelo investimento).

Tire o máximo proveito

As matemáticas financeiras são a espinha dorsal das decisões financeiras inteligentes. Sem elas, não poderíamos calcular ferramentas chave como o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno (TIR) ou elaborar tabelas de amortização para empréstimos.