Matemática financeira: fórmulas e exemplos aplicados

Com o IPCA acumulando 4,22% em 12 meses, R$ 1.000 guardados debaixo do colchão compram hoje menos do que compravam no ano passado. A matemática financeira é o ramo que mede exatamente isso: como o dinheiro muda de valor com o tempo.

Ela se encarrega do estudo das operações financeiras, onde se trocam fluxos de dinheiro que podem sofrer variações quantitativas ao longo do tempo. Isso ocorre porque o capital, graças ao tempo que fica aplicado, gera juros.

A seguir você encontra as fórmulas que realmente se usam no dia a dia, a diferença entre juros simples e juros compostos, o cálculo do valor presente e o efeito da inflação sobre o seu dinheiro, com exemplos resolvidos.

O que é a matemática financeira?

O dinheiro perde seu valor ao longo do tempo, por exemplo, uma quantia determinada que se recebe no futuro perderá seu valor, devido à inflação e à subsequente perda do poder aquisitivo.

Se não houvesse inflação, da mesma forma o dinheiro futuro valeria menos do que no presente e isso acontece porque os consumidores preferem utilizar o consumo corrente em vez do consumo futuro, com a possibilidade de fazer seus investimentos em recursos em projetos que têm um rendimento real.

Essa análise é fundamental para entender conceitos como o custo de oportunidade, o valor presente e as projeções de capital.

Por exemplo, o dinheiro que se tem hoje não vale o mesmo que o dinheiro que se receberá no futuro. Fatores como a inflação e os juros compostos afetam seu valor real.

Principais conceitos:

• Juros simples: os juros simples são o mais básico dos juros. É sempre calculado sobre o capital inicial e não considera os juros gerados em períodos anteriores. Sua fórmula é: M = C × (1 + i × t)
• Juros compostos: ao contrário dos juros simples, os juros compostos consideram os juros gerados em períodos anteriores, fazendo com que o capital cresça mais rapidamente. Fórmula dos juros compostos: M = C × (1 + i)^t
• Valor presente e valor futuro: o valor presente (VP) permite calcular quanto vale hoje um fluxo de dinheiro futuro, descontando uma taxa de juros. Fórmula do valor presente: C = M / (1 + i)^t. Por outro lado, o valor futuro (VF) permite saber quanto valerá um investimento ou capital atual após certo tempo, aplicando uma taxa de juros. Fórmula do valor futuro: VF = C × (1 + i)^t
• Amortização de créditos: a amortização de créditos é o processo de pagar um empréstimo por meio de parcelas periódicas que cobrem tanto o capital quanto os juros. Fórmula para calcular a parcela: C = (P × i) / (1 - (1 + i)^-n)
• Anuidades: as anuidades são uma série de pagamentos iguais realizados em intervalos regulares, por exemplo, para pagar um financiamento ou receber uma aposentadoria. Fórmula da anuidade ordinária (vencida): A = (C × ((1 + i)^n - 1)) / i

Classificações da matemática financeira

Dentro da matemática financeira estudam-se as operações financeiras simples e as complexas, a definição é a seguinte:

• Simples: analisa os fluxos que provêm de um único capital (denominados juros).
• Complexas: analisa os fluxos que provêm de mais de um capital (denominadas rendas).

Outra classificação é a aplicação das operações, onde dependendo da temporalidade, podem existir dois grandes princípios:

• Princípio de Capitalização: quando tenho fluxos no dia de hoje e quero saber quanto terei no futuro
• Princípio de Desconto: quanto fluxo terei no futuro e gostaria de saber quanto vale hoje.

O propósito de poder analisar essa corrente, se destaca pelo princípio de que o dinheiro perde valor ao longo do tempo. Você já percebeu que comprar um pacote de batatas fritas antes custava R$8 e agora custa R$14? Algumas pessoas consideram isso como “Inflação”, mas não necessariamente é só isso.

Também existe outro fator chamado “Custo de Oportunidade”, que diz respeito ao que eu sacrifico por dispor dos fluxos em um conceito e não em outro.

Exemplo: “Você possui R$100.000 hoje, dos quais pode gastar em uma festa, ou investir e, em dois meses, receber R$105.000”. Se você escolher a primeira opção, o custo de oportunidade seria deixar de ganhar R$5.000; se escolher a segunda opção, o custo de oportunidade consiste em não fazer a celebração.

Por isso, a matemática financeira surge para analisar fluxos e, dependendo da decisão que se queira tomar, poder adicionar ou retirar este conceito que chamaremos momentaneamente de “soma da inflação e custo de oportunidade”.

Tudo o que foi mencionado anteriormente é chamado de “perda de valor ao longo do tempo” e cumpre certos princípios elementares:

• Diante de dois capitais de igual valor em momentos diferentes, preferir-se-á o que for de tempo mais próximo.
• Diante de dois capitais de valores diferentes, mas no mesmo momento, preferir-se-á o de valor mais alto.

Todos esses princípios e bases são utilizados para comparar fluxos que, por defeito do tempo, não podem ser comparáveis. Se você tivesse R$100.000 hoje e R$100.000 em 2 anos, nominalmente ainda seriam R$100.000, mas o valor é mais alto hoje, dado que o que você pode adquirir hoje é mais do que poderá com o mesmo valor nominal no futuro. Portanto, a matemática financeira cumpre esse papel.

Operações financeiras simples

Para analisar operações financeiras simples, temos que fazer referência ao mencionado anteriormente, o juro simples e composto. Ainda assim, um pequeno exemplo do juro simples considerando a fórmula mencionada anteriormente:

Suponhamos que você invista R$1.000 com uma taxa de juro simples de 5% ao ano durante 3 anos: M = 1.000 × (1 + 0,05 × 3) = 1.150 O montante final após 3 anos será de R$1.150. Esta é uma transição ideal para falar sobre o juro composto, que funciona de maneira diferente do juro simples.

E por outro lado, o juro composto: se você investir R$1.000 a uma taxa de juro composto de 5% ao ano durante 3 anos: M = 1.000 × (1 + 0,05)^3 ≈ 1.157,63 O montante final será de R$1.157,63, o que demonstra como o juro composto gera mais valor que o juro simples.

Operações financeiras complexas

Também denominada renda, este conceito analisa múltiplos capitais e múltiplos cenários de tempo, dada a complexidade, este tema será abordado em outro blog, mas hoje indicaremos alguns tópicos a considerar para este tipo de operações:

• A renda pode ser analisada como temporária (a um certo período) ou perpétua (sem período definido).
• A renda pode ser analisada sob a modalidade vencida (em que o pagamento ou recebimento é feito após uma data indicada) ou antecipada (que é feito antes de uma data indicada).
• O pagamento pode ser imediato ou diferido (em que se conhece a obrigação ou o direito e se registra hoje, apesar de que o pagamento ou a cobrança será visto no futuro). Algumas fórmulas a aplicar são as seguintes:

Fatores que afetam o valor do dinheiro

O valor do dinheiro muda com o tempo devido a diversos fatores econômicos e financeiros. Entre os mais relevantes estão:

Inflação

A inflação é o aumento sustentado dos preços de bens e serviços ao longo do tempo, o que reduz o poder de compra do dinheiro. Ou seja, com a mesma quantidade de dinheiro no futuro, será possível comprar menos bens e serviços do que no presente.

Com o IPCA acumulado em 4,22% em 12 meses, um produto que hoje custa R$ 100 passaria a custar cerca de R$ 104,22 em um ano, mantido esse ritmo. É por isso que deixar dinheiro parado equivale a perder poder de compra de forma silenciosa.

Custo de oportunidade

O custo de oportunidade é o valor da melhor alternativa não escolhida ao tomar uma decisão financeira. É fundamental na tomada de decisões, pois nos permite avaliar qual opção gera maiores benefícios a longo prazo.

Se você tem R$1.000 e decide gastá-los em uma viagem em vez de investi-los em um fundo com uma rentabilidade de 5% ao ano, o custo de oportunidade é o rendimento que você teria obtido desse investimento, ou seja, R$50 ao ano.

O mesmo raciocínio vale para quem escolhe entre ativos. Comparar uma aplicação em renda fixa com uma carteira de ações europeias que pagam dividendos é, no fundo, um exercício de desconto de fluxos: o que cada alternativa entrega, e quando.

Matemática financeira: termos mais utilizados

Na hora de estudar a matemática financeira costumam existir certos termos mais utilizados que outros, o que significa entender a linguagem da matemática:

• Derivativos climáticos: refere-se a produtos financeiros e seu fluxo estão relacionados a um evento climático, geralmente aplicados a empresas agrícolas e turísticas.
• Derivativos de crédito: refere-se a produtos cujo fluxo depende de eventos de crédito.
• Juros de empréstimos bancários: os empréstimos flutuam com base no custo do dinheiro e no risco de inadimplência por parte do mutuário.
• Custo do dinheiro: solicitar um empréstimo implica um custo, que está relacionado à curva de taxas de juros. Essa curva é baseada na moeda, sendo fixa pelo mercado.
• Custo do risco: o setor bancário compensa o risco de inadimplência. Através de uma garantia real ou através do prêmio de risco adicional.
• Juros: comentados anteriormente, aplicam-se dois tipos de juros na matemática financeira: o juro simples (em relação à definição de juro), é calculado com base no total de um capital inicial. O juro composto (leva-se em conta como base de cálculo o capital inicial e os valores de juros gerados pelo investimento).

Tire o máximo proveito

A matemática financeira é a espinha dorsal das decisões financeiras inteligentes. Sem ela, não poderíamos calcular ferramentas chave como o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno (TIR) ou elaborar tabelas de amortização para empréstimos.

Ela também organiza a rotina de quem investe: comparar o rendimento de duas aplicações, projetar quanto um aporte mensal vira em dez anos ou entender por que uma ação reage à mudança de juros. Até acompanhar o calendário da bolsa americana faz mais sentido quando você sabe traduzir um resultado trimestral em fluxo descontado.

Por onde começar a aplicar a matemática financeira

Duas fórmulas resolvem a maior parte das decisões do dia a dia: a dos juros compostos, para projetar, e a do valor presente, para comparar propostas em datas diferentes. Quem domina essas duas deixa de aceitar parcelamento caro e passa a medir o custo real de cada escolha. Pegue a sua próxima decisão de compra ou aplicação e refaça a conta antes de assinar.

Perguntas Frequentes sobre matemática financeira

Fontes consultadas:

• IBGE, Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), variação acumulada em 12 meses.
• Banco Central do Brasil, séries temporais de juros e índices de preços.